Как находится площадь треугольника? - коротко
Площадь треугольника вычисляют по формуле (S = \frac12 \, a \, h), где (a) — длина основания, а (h) — высота, опущенная на него; при известном наборе сторон применяют формулу Герона: (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}), где (p) — полупериметр.
Как находится площадь треугольника? - развернуто
Площадь треугольника вычисляется разными способами, в зависимости от известных данных. Наиболее распространённый метод основан на произведении длины основания на соответствующую высоту и делении результата пополам. Если известны длина одной стороны и высота, опущенная на неё, площадь определяется формулой
[ S = \frac{b \cdot h}{2}, ]
где (b) — длина основания, (h) — высота.
Когда известны только три стороны, применяется формула Герона. Сначала вычисляется полупериметр
[ p = \frac{a + b + c}{2}, ]
где (a), (b), (c) — длины сторон. Затем площадь находится по выражению
[ S = \sqrt{p\,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}. ]
Эта формула удобна в задачах, где стороны заданы численно, но высота отсутствует.
Если координаты вершин треугольника известны, площадь можно вычислить через определитель. При точках (A(x_1,y_1)), (B(x_2,y_2)) и (C(x_3,y_3)) справедливо равенство
[ S = \frac{1}{2}\,\bigl|x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)\bigr|. ]
Этот способ особенно полезен в аналитической геометрии и при работе с векторными данными.
Для прямоугольных треугольников площадь легко получить, если известны катеты (m) и (n):
[ S = \frac{m \cdot n}{2}. ]
В равностороннем треугольнике, где все стороны равны (a), высота вычисляется как
[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}\,a, ]
и подставляется в базовую формулу, получая
[ S = \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^{2}. ]
Итого, выбор метода зависит от того, какие параметры известны: длина стороны с высотой, три стороны, координаты вершин или особая геометрия фигуры. Каждый из описанных подходов даёт точный результат, если расчёты выполнены аккуратно.