"Тангенс" - что это такое, определение термина
- Тангенс
- — это тригонометрическая функция, которая определяется как отношение синуса угла к его косинусу. Он выражает соотношение между противолежащим и прилежащим катетами в прямоугольном треугольнике.
Детальная информация
Тангенс — это тригонометрическая функция, которая определяется как отношение синуса к косинусу угла. Для угла ( \alpha ) в прямоугольном треугольнике он равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Формула записывается как ( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} ).
Эта функция периодическая с периодом ( \pi ) радиан, то есть ( \tan(\alpha + \pi) = \tan(\alpha) ). Она не определена в точках, где косинус равен нулю, то есть при ( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n ), где ( n ) — целое число. В этих точках график функции имеет вертикальные асимптоты.
Тангенс широко применяется в математике, физике и инженерии. Например, он используется для вычисления углов наклона, в задачах нахождения высот объектов и при анализе колебательных процессов.
Свойства функции включают нечётность: ( \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha) ). Производная тангенса равна ( \frac{1}{\cos^2(\alpha)} ), или ( \sec^2(\alpha) ). Интеграл от тангенса вычисляется как ( -\ln|\cos(\alpha)| + C ), где ( C ) — постоянная интегрирования.
В комплексном анализе тангенс выражается через экспоненту: ( \tan(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{i(e^{iz} + e^{-iz})} ). Это позволяет расширить его определение на комплексную плоскость, за исключением точек, где знаменатель обращается в ноль.
Функция имеет обратную, называемую арктангенсом, которая возвращает угол по заданному значению. Арктангенс применяется, например, при решении уравнений и в компьютерной графике для вычисления углов поворота.
Тангенс также связан с другими тригонометрическими функциями через основные тождества. Например, ( 1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} ). Это позволяет упрощать выражения и решать сложные задачи.
Для малых углов справедливо приближение ( \tan(\alpha) \approx \alpha ), если угол измерен в радианах. Это используется в физике и технике для линеаризации уравнений.
График тангенса представляет собой кривую с бесконечными разрывами, возрастающую на каждом интервале непрерывности. Поведение функции важно учитывать при построении математических моделей.