"Интеграл" - что это такое, определение термина
- Интеграл
- — это математическая операция, позволяющая находить площадь под кривой на графике функции или вычислять суммарное значение непрерывно изменяющейся величины. Он является обратной операцией к дифференцированию и широко применяется в физике, инженерии и экономике.
Детальная информация
Интеграл — это одно из центральных понятий математического анализа, позволяющее находить площади, объёмы и другие величины, связанные с накоплением бесконечно малых изменений. Он даёт возможность работать с функциями, суммируя их значения на бесконечно малых промежутках.
Существуют два основных типа: определённый и неопределённый. Неопределённый представляет собой семейство функций, производная которых равна исходной подынтегральной функции. Определённый вычисляет разность значений первообразной на границах интервала, что соответствует площади под кривой.
Методы вычисления разнообразны. В простых случаях применяют табличные формулы, для более сложных — замену переменных, интегрирование по частям или численные методы. Некоторые функции не имеют элементарных первообразных, и их вычисляют приближённо.
Применение встречается в физике, экономике, инженерии и других науках. С его помощью находят работу силы, определяют вероятности в статистике, рассчитывают траектории движения. Без него невозможно описать многие процессы, связанные с изменяющимися величинами.
Исторически понятие развивалось благодаря работам Ньютона и Лейбница, которые независимо друг от друга сформулировали основные принципы. Современное понимание базируется на теории меры и строгих определениях, данных Риманом и Лебегом.