Как называются числа, которые равны сумме всех своих делителей, включая 1, но исключая само число? - коротко
Эти числа называют совершенными. Например, 6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Как называются числа, которые равны сумме всех своих делителей, включая 1, но исключая само число? - развернуто
Совершенные числа — это такие натуральные числа, которые равны сумме всех своих собственных делителей, то есть всех делителей, меньших самого числа, включая единицу. Если обозначить множество всех делителей числа n, кроме самого n, через D(n), то условие совершенности записывается как
[ n=\sum_{d\in D(n)} d. ]
Эти числа привлекали внимание математиков с древних времён. Уже в Древней Греции Пифагор и его последователи отмечали их особую симметрию, а Евклид сформулировал способ их построения, связанный с простыми числами Мерсенна.
Классические свойства
- Каждый известный совершенный номер — чётный. Для нечётных совершенных чисел гипотеза остаётся открытой; ни одного примера пока не найдено.
- Если (p) — простое число Мерсенна (то есть (p=2^{k}-1) и (p) простое), то число
[ 2^{k-1}(2^{k}-1) ]
является совершенным. Это утверждение принадлежит Евклиду.
- Обратное утверждение доказал Леонард Эйлер: каждое чётное совершенное число имеет именно такой вид, где (2^{k}-1) — простое число Мерсенна. Поэтому существует биекция между чётными совершенными числами и простыми числами Мерсенна.
Известные примеры
- (6 = 1 + 2 + 3).
- (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14).
- (496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248).
- (8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064).
Эти четыре числа получаются из простых чисел Мерсенна 3, 7, 31 и 127 соответственно. На сегодняшний день известно более пятисот миллионов совершенных чисел, однако все они чётные и образованы из известных простых чисел Мерсенна.
Связь с другими классами чисел
- Если сумма собственных делителей меньше самого числа, число называют дефектным. Пример — 8, у которого (1+2+4=7<8).
- Если сумма собственных делителей превышает число, оно называется избыточным. Пример — 12, где (1+2+3+4+6=16>12).
Таким образом, совершенные числа представляют собой особый случай, когда величина суммы собственных делителей точно совпадает с самим числом. Их редкость, строгая связь с простыми числами Мерсенна и отсутствие известных нечётных примеров делают эту тему одной из самых интригующих в теории чисел.