Что такое синус и косинус? - коротко
Синус угла — отношение длины противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, а косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. На единичной окружности эти величины совпадают с координатами точки, соответствующей данному углу.
Что такое синус и косинус? - развернуто
Синус и косинус – фундаментальные функции тригонометрии, которые связывают угол с отношениями сторон в прямоугольном треугольнике и описывают периодические явления в математических моделях.
В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение длины противолежащего катета к гипотенузе. Косинус угла – отношение длины прилежащего катета к гипотенузе. Эти отношения остаются постоянными при изменении размеров треугольника, если сохраняется величина угла, что делает их удобными инструментами для вычислений в геометрии и физике.
Для любого угла α, измеряемого в радианах, синус и косинус могут быть заданы через единичную окружность. При построении радиуса длиной 1, исходящего из начала координат, точка пересечения с окружностью имеет координаты (cos α, sin α). Таким образом, косинус отвечает за координату по оси X, а синус – за координату по оси Y. Это геометрическое представление иллюстрирует их периодичность: при увеличении угла на 2π значения функций повторяются.
Свойства синуса и косинуса позволяют упростить множество вычислений:
- Чётность и нечётность: cos(−α)=cos α (чётная функция), sin(−α)=−sin α (нечётная функция);
- Тождественные соотношения: sin²α+cos²α=1, что следует из теоремы Пифагора для единичной окружности;
- Формулы сложения: sin(α+β)=sin α·cos β+cos α·sin β, cos(α+β)=cos α·cos β−sin α·sin β;
- Периодичность: sin(α+2π)=sin α, cos(α+2π)=cos α.
Эти свойства позволяют переходить от сложных углов к более простым, использовать таблицы значений и решать тригонометрические уравнения. В аналитической геометрии и физике они применяются для описания колебаний, волновых процессов, вращения тел и многих других явлений, где присутствуют повторяющиеся изменения.
Таким образом, синус и косинус представляют собой универсальные инструменты, связывающие углы с пропорциями отрезков и координатами точек, обеспечивая мощный язык для описания как геометрических, так и динамических систем.