Чему равен синус 90 градусов? - коротко
Синус угла 90° равен 1. Это следует из определения синуса на единичной окружности, где координата y для точки, соответствующей углу 90°, равна 1.
Чему равен синус 90 градусов? - развернуто
Синус угла, измеряемого в 90°, равен единице. Это значение следует из нескольких фундаментальных представлений тригонометрии.
Во-первых, при построении единичной окружности любой угол задаётся координатами точки, где луч, исходящий из начала координат, пересекает окружность. Координата y этой точки определяется именно синусом угла. При угле в 90° (π/2 радиан) луч направлен строго вверх, и точка пересечения имеет координаты (0, 1). Следовательно, sin 90° = 1.
Во-вторых, в прямоугольном треугольнике с одним углом в 90° гипотенуза считается за единичную сторону. Синус острого угла определяется отношением противолежащего катета к гипотенузе. Для угла, дополняющего прямой до 90°, противолежащий катет совпадает с гипотенузой, что даёт отношение 1 : 1, то есть синус равен 1.
Третий способ – аналитическое определение через ряд Тейлора. Разложение функции sin x в окрестности 0 выглядит так:
[ \sin x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \dots ]
Подставив (x = \frac{\pi}{2}) и учитывая, что (\frac{\pi}{2}) является точным значением, получаем:
[ \sin\frac{\pi}{2} = 1, ]
поскольку все последующие члены ряда компенсируют друг друга, оставляя единицу.
Таким образом, независимо от выбранного подхода – геометрического, аналитического или алгебраического – результат неизменен: синус 90 градусов всегда равен 1. Это фундаментальное свойство широко используется в физике, инженерных расчётах и любой сфере, где требуется точное определение величин, связанных с угловыми измерениями.