"Синус" - что это такое, определение термина
- Синус
- — это тригонометрическая функция угла, равная отношению противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Он используется для описания периодических процессов и колебаний в математике и физике.
Детальная информация
Синус — это тригонометрическая функция, которая определяется для угла в прямоугольном треугольнике как отношение длины противолежащего катета к гипотенузе. Обозначается как sin(θ), где θ — угол. В единичной окружности значение синуса соответствует y-координате точки, лежащей на окружности и отстоящей от начала координат на угол θ.
Функция периодическая с периодом 2π, то есть sin(θ + 2πk) = sin(θ) для любого целого k. Она нечётная, что означает выполнение равенства sin(−θ) = −sin(θ). Основные значения: sin(0) = 0, sin(π/2) = 1, sin(π) = 0, sin(3π/2) = −1.
В математическом анализе представляется в виде ряда Тейлора: sin(x) = x − x³/3! + x⁵/5! − x⁷/7! + ... , что позволяет вычислять его значения для любых вещественных чисел. Также существуют интегральные и дифференциальные свойства: производная sin(x) равна cos(x), а интеграл — −cos(x) + C.
Применяется в физике, инженерии и других науках для описания колебательных процессов, волн и гармонических движений. В электротехнике с его помощью анализируют переменный ток, а в механике — колебания пружин и маятников.
В комплексном анализе синус выражается через экспоненту по формуле Эйлера: sin(z) = (e^(iz) − e^(−iz)) / (2i), где z — комплексное число. Это расширяет область его применения до задач теории функций комплексного переменного.
График функции имеет волнообразную форму с максимумами и минимумами, повторяющимися каждые 2π. Амплитуда колебаний равна 1, если функция не масштабирована. Часто используется совместно с косинусом для представления гармонических сигналов в фазовом пространстве.