"Предел" - что это такое, определение термина
- Предел
- Число называется пределом последовательности, если её элементы сколь угодно близко приближаются к этому числу при увеличении номера. В математическом анализе это понятие описывает поведение функции при стремлении аргумента к определённой точке.
Детальная информация
В математике рассматривается понятие, которое описывает поведение функции или последовательности при стремлении аргумента к определённому значению. Это фундаментальное понятие анализа, позволяющее формализовать интуитивные представления о приближении и бесконечно малых величинах.
Формальное определение основано на понятии окрестности. Для функции говорят, что она имеет определённое значение в точке, если для любого заранее заданного положительного числа можно указать такую окрестность этой точки, что все значения функции в этой окрестности будут отличаться от указанного значения меньше, чем на заданное число.
Свойства:
- Единственность. Если существует, то только один.
- Арифметические операции. Если две функции имеют соответствующие значения в точке, то их сумма, разность, произведение и частное (при условии, что знаменатель не обращается в ноль) также имеют определённые значения.
- Переход к неравенствам. Если функция в окрестности точки не превосходит другую функцию, то и их соответствующие значения связаны тем же неравенством.
Применение этого понятия распространяется на различные области. В физике оно используется для описания мгновенной скорости или ускорения. В экономике помогает анализировать предельные издержки или прибыль.
Для последовательностей определение аналогично. Говорят, что последовательность сходится к некоторому числу, если для любого положительного числа найдётся такой номер, начиная с которого все элементы последовательности попадают в заданную окрестность этого числа.