Тангенс — это отношение чего? - коротко
Тангенс — это отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета в прямоугольном треугольнике (эквивалентно — отношение синуса к косинусу).
Тангенс — это отношение чего? - развернуто
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета. Если обозначить угол α, а его противолежащий и прилежащий катеты — соответственно b и a, то
[ \tan\alpha = \frac{b}{a}. ]
Эта величина полностью определяется формой угла и не зависит от размеров самого треугольника: при одинаковом угле любые подобные треугольники дают одно и то же значение тангенса.
Помимо геометрического определения, существует аналитическое представление через тригонометрические функции синуса и косинуса. Для любого угла α
[ \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}, ]
что следует из того, что синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Деление этих отношений приводит к тому же соотношению b : a.
На единичной окружности (окружность радиуса 1 с центром в начале координат) точка, соответствующая углу α, имеет координаты ((\cos\alpha,\sin\alpha)). Здесь тангенс представляется как отношение ординаты к абсциссе:
[ \tan\alpha = \frac{y}{x}, ]
при условии, что (x\neq0). Таким образом, тангенс измеряет наклон луча, исходящего из начала координат и образующего угол α с положительным направлением оси X.
Среди характерных свойств тангенса следует отметить:
- периодичность (π): (\tan(\alpha+π)=\tan\alpha);
- несуществование в точках, где косинус равен нулю (углы (π/2 + kπ), (k∈ℤ));
- возможность выражения через углы сложения: (\tan(\alpha+β)=\frac{\tan\alpha+\tanβ}{1-\tan\alpha\,\tanβ}).
Эти свойства позволяют использовать тангенс не только в геометрии, но и в аналитических вычислениях, решении уравнений, построении графиков и моделировании различных физических процессов. Точно так же, как и другие тригонометрические функции, тангенс служит универсальным инструментом для описания взаимосвязей между углами и длинами в плоскости.