Как возвести дробь в степень? - коротко
Чтобы возвести дробь (a/b) в степень (n), возводим числитель и знаменатель в эту степень: ((a^n)/(b^n)). При отрицательном показателе меняем местами числитель и знаменатель и затем применяем то же правило.
Как возвести дробь в степень? - развернуто
Возведение дроби в степень — это действие, при котором каждый элемент дроби (числитель и знаменатель) подвергается одному и тому же показателю. Правильное выполнение операции позволяет быстро упростить выражения и избежать ошибок в дальнейшем вычислении.
Для начала следует уточнить, какой тип показателя используется: целое положительное, целое отрицательное, ноль или дробное число. Каждый из этих случаев имеет свои правила.
Показатель – целое положительное число
Если степень n > 0, то необходимо возвести в n‑ую степень как числитель, так и знаменатель:
[ \left(\frac{a}{b}\right)^{n}= \frac{a^{\,n}}{b^{\,n}},\qquad b\neq0. ]
Пример: (\left(\frac{3}{5}\right)^{4}= \frac{3^{4}}{5^{4}}= \frac{81}{625}).
Показатель – ноль
Любая ненулевая дробь, возведённая в нулевую степень, равна единице:
[ \left(\frac{a}{b}\right)^{0}=1,\qquad a\neq0,\; b\neq0. ]
Это следует из общего свойства степеней: любой ненулевой элемент в нулевой степени даёт единицу.
Показатель – целое отрицательное число
Отрицательная степень приводит к инвертированию дроби и последующему возведению в положительную степень:
[ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n}= \left(\frac{b}{a}\right)^{n}= \frac{b^{\,n}}{a^{\,n}},\qquad n>0. ]
Пример: (\left(\frac{2}{7}\right)^{-3}= \left(\frac{7}{2}\right)^{3}= \frac{343}{8}).
Показатель – дробное число
При показателе в виде рационального числа (\frac{p}{q}) (где p, q ∈ ℕ, q ≠ 0) применяется корень q‑ой степени к числителю и знаменателю, после чего результат возводится в степень p:
[ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{p}{q}}= \left(\sqrt[q]{\frac{a}{b}}\right)^{p} =\frac{\sqrt[q]{a^{\,p}}}{\sqrt[q]{b^{\,p}}}. ]
Если a и b являются полными квадратами (или q‑й степенями), корни упрощаются без остатка. В противном случае сохраняются радикалы.
Пошаговый алгоритм
- Определите тип показателя (целое положительное, ноль, отрицательное, дробное).
- Если показатель отрицательный, замените дробь её обратной и измените знак показателя на положительный.
- Если показатель нулевой, сразу запишите ответ = 1.
- При положительном целочисленном показателе возведите числитель и знаменатель в эту степень.
- При дробном показателе извлеките корень соответствующей степени из числителя и знаменателя, затем возведите результат в числитель дроби показателя.
- Упростите полученную дробь: сократите общие множители, если они есть, и при необходимости преобразуйте корни в более простую форму.
Типичные ошибки и способы их предотвращения
- Пропуск инверсии при отрицательной степени. Всегда проверяйте знак показателя перед возведением.
- Ошибочное возведение только числителя или только знаменателя. Оба элемента подлежат одинаковой операции.
- Игнорирование возможности сокращения после возведения. После вычисления степени проведите факторизацию числителя и знаменателя, чтобы упростить результат.
- Неправильное обращение с корнями при дробных показателях. Убедитесь, что корень берётся из обеих частей дроби одновременно.
Соблюдая эти правила, вы сможете безошибочно выполнять возведение любой дроби в любую степень, быстро упрощать полученные выражения и уверенно решать задачи, где такие операции встречаются.