Как переводить десятичные дроби в обычные?

Как переводить десятичные дроби в обычные? - коротко

Чтобы перевести десятичную дробь в обычную, запишите её как число без запятой, а в знаменатель положите 10, 100, 1000 и т.д., в зависимости от количества знаков после запятой, затем сократите дробь. Например, 0,75 = 75/100 = 3/4.

Как переводить десятичные дроби в обычные? - развернуто

Перевод десятичных дробей в обыкновенные начинается с понимания их структуры. Десятичная запись состоит из целой части, запятой и последовательности цифр после запятой. Каждая цифра после запятой соответствует одной из степеней десяти: первая — десятых, вторая — сотых, третья — тысячных и так далее. Чтобы получить обыкновенную дробь, достаточно записать получившееся число в виде отношения целого к соответствующей степени десяти, а затем упростить эту дробь.

Этапы преобразования

1. Определить количество знаков после запятой.
   Пусть дробь выглядит так: 4,527. После запятой три цифры, значит знаменатель будет 10³ = 1000.

2. Записать числитель.
   Убрав запятую, получаем 4527. Это и будет числителем получаемой дроби.

3. Сформировать начальную дробь.
   Получаем 4527/1000.

4. Сократить дробь.
   Вычисляем НОД (наибольший общий делитель) числителя и знаменателя. В примере НОД = 1, поэтому дробь уже несократима. Если бы, к примеру, числитель был 4500, то дробь 4500/1000 можно сократить, поделив обе части на 500, получив 9/2.

Работа с конечными десятичными дробями

• Если после запятой стоят нули, их можно опустить, а знаменатель уменьшить соответствующим образом. Например, 3,1400 = 3140/10000 = 314/1000 = 157/500.
• При наличии только одной цифры после запятой знаменатель всегда 10, при двух — 100, при трёх — 1000 и т.д.

Перевод периодических десятичных дробей

Периодическая часть обозначается чертой над цифрами или многоточием. Для её преобразования используют следующую схему:

1. Записать всю дробь без запятой.
   Пусть дано 0,6̅ (шесть повторяется бесконечно). Записываем 0,666… = x.

2. Сдвинуть запятую на количество знаков, равное длине периода.
   Умножаем обе части уравнения на 10ⁿ, где n — длина периода. В примере n = 1, получаем 10x = 6,666…

3. Вычесть исходное уравнение.
   10x − x = 6,666… − 0,666… ⇒ 9x = 6.

4. Решить полученное уравнение.
   x = 6/9 = 2/3. Таким образом, 0,6̅ = 2/3.

Если периодическая часть начинается не сразу, а после некоторого количества конечных цифр, то процесс усложняется, но принцип остаётся тем же: сначала умножаем, чтобы «перенести» период, затем вычитаем, получая линейное уравнение с целыми коэффициентами.

Примеры

• 2,75 → 275/100 → 11/4.
• 0,125 → 125/1000 → 1/8.
• 3,141̅ (цифра 1 повторяется) → x = 3,141111…; 10x = 31,41111…; 100x = 314,1111…; вычитаем 10x из 100x: 90x = 282,7; x = 2827/9000 = 2827/9000 (дальнейшее сокращение зависит от НОД).

Практические советы

• При работе с большими числами удобно использовать калькулятор или компьютерные программы, которые автоматически находят НОД и упрощают дробь.
• При переводе периодических дробей рекомендуется сначала записать период отдельно, а затем применять описанный алгоритм, чтобы избежать ошибок при вычитании.
• Если полученный знаменатель содержит только простые множители 2 и 5, то исходная десятичная дробь была конечной; в противном случае она будет периодической.

Таким образом, любой десятичный записанный числовой образ можно превратить в обыкновенную дробь, последовательно определяя количество знаков после запятой, формируя начальную дробь с соответствующим знаменателем, а затем упрощая её до несократимого вида. При наличии повторяющихся цифр применяется метод вычитания после умножения, что приводит к линейному уравнению с целыми коэффициентами и позволяет получить точную обыкновенную форму.