Как относятся площади подобных треугольников? - коротко
Площади подобных треугольников находятся в квадрате отношения их соответствующих сторон: если коэффициент подобия равен k, то отношение площадей равно k². Это правило позволяет быстро вычислять одну площадь, зная другую и коэффициент масштабирования.
Как относятся площади подобных треугольников? - развернуто
Похожие треугольники имеют одинаковую форму, но отличаются масштабом. Если длина каждой стороны одного треугольника в k раз больше соответствующей стороны другого, то коэффициент подобия равен k. Поскольку площадь определяется произведением двух измерений, её изменение под действием масштабирования подчиняется правилу квадратичной зависимости: площадь большего треугольника будет в k² раз превышать площадь меньшего.
Это утверждение следует из формулы площади S = ½·a·b·sin γ, где a и b — любые две стороны, а γ — угол между ними. При подобии углы совпадают, а синус угла остаётся тем же самым. Если обе стороны a и b увеличиваются в k раз, их произведение возрастает в k² раз, а множитель sin γ не меняется. Поэтому отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.
Практически это соотношение удобно использовать при решении задач:
- Определение неизвестной площади. Зная площадь одного из треугольников и коэффициент подобия, умножаем её на k², получаем площадь другого.
- Нахождение коэффициента подобия. Если известны площади двух подобных фигур, берём квадратный корень из отношения площадей: k = √(S₁/S₂).
- Сравнение размеров фигур. При известном коэффициенте масштабирования сразу видим, насколько изменится площадь: удвоение всех сторон приводит к увеличению площади в четыре раза.
Пример. В одном треугольнике сторона AB = 3 см, а в подобном ему сторона A'B' = 9 см. Коэффициент подобия k = 9/3 = 3. Если площадь первого треугольника равна 12 см², то площадь второго будет 12·3² = 108 см².
Таким образом, площадь подобных треугольников всегда находится в квадратичном отношении к их линейному масштабу, что позволяет быстро переходить от известных величин к требуемым результатам.