Как найти медиану треугольника? - коротко
Медиану треугольника получают, соединяя любую вершину с серединой противоположной стороны; её длину можно вычислить по формуле (m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}), где (a) – основание, а (b) и (c) – прилежащие стороны.
Как найти медиану треугольника? - развернуто
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Чтобы определить её длину, достаточно воспользоваться известными измерениями сторон треугольника или координатами его вершин. Ниже приведены несколько надёжных способов расчёта.
Во-первых, если известны длины сторон (a), (b) и (c) (при этом (a) — сторона, к которой проведена медиана), то её длина (m_a) вычисляется по формуле Апполония:
[ m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}. ]
Эта формула выводится из теоремы Пифагора, применённой к двум образованным при проведении медианы треугольникам, и позволяет быстро получить результат без построения дополнительных геометрических фигур.
Во-вторых, если известны координаты вершин треугольника (A(x_1,y_1)), (B(x_2,y_2)) и (C(x_3,y_3)), то сначала находят середину противоположной стороны. Для медианы, исходящей из вершины (A), середина стороны (BC) имеет координаты
[ M!\left(\frac{x_2+x_3}{2},\;\frac{y_2+y_3}{2}\right). ]
Затем расстояние между точками (A) и (M) вычисляется по формуле расстояния между двумя точками:
[ m_a=\sqrt{\left(x_1-\frac{x_2+x_3}{2}\right)^{2}+\left(y_1-\frac{y_2+y_3}{2}\right)^{2}}. ]
Этот метод удобен, когда треугольник задан в координатной плоскости и требуется точный числовой результат.
Третий способ применяется в задачах, где известны только два угла и одна сторона. Сначала определяют третий угол, используя сумму углов треугольника ((180^{\circ})). Затем, применяя закон синусов, находят недостающие стороны. После этого можно воспользоваться формулой Апполония, как в первом случае.
Ниже перечислены основные шаги любого из методов:
- Установите, какая сторона будет базой для медианы.
- Если известны все стороны, примените формулу Апполония.
- Если известны координаты, найдите середину противоположной стороны и вычислите расстояние.
- При известном одном угле и одной стороне используйте закон синусов, чтобы восстановить недостающие стороны, затем вернитесь к пункту 2.
Эти приёмы позволяют без труда находить длину любой медианы в любом треугольнике, независимо от того, как заданы исходные данные. Все расчёты опираются на фундаментальные геометрические теоремы, поэтому полученный результат всегда точен.