Как найти квадрат длины вектора? - коротко
Квадрат длины вектора вычисляется как сумма квадратов его координат: |v|² = x₁² + x₂² + … + xₙ². Для двумерного вектора (x, y) это x² + y², для трёхмерного (x, y, z) — x² + y² + z².
Как найти квадрат длины вектора? - развернуто
Для любого вектора ( \mathbf{v} ) в (n)-мерном евклидовом пространстве квадрат его длины определяется как скалярное произведение вектора самого на себя. Если координаты вектора заданы как ((v_1, v_2, \ldots, v_n)), то
[ |\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_1^2+v_2^2+\dots+v_n^2. ]
Эта формула применима как к двумерным, так и к трёхмерным и более высоким измерениям. Ниже перечислены основные шаги вычисления:
-
Записать координаты вектора.
Пример: (\mathbf{v}=(3,\,-4,\,2)). -
Возвести каждую координату в квадрат.
Для примера получаем: (3^2=9), ((-4)^2=16), (2^2=4). -
Сложить полученные значения.
Сумма будет (9+16+4=29). Это и есть квадрат длины вектора (\mathbf{v}).
Если вектор задан в полярных или цилиндрических координатах, сначала его следует преобразовать в декартову форму, после чего применить ту же процедуру. При работе с комплексными координатами берётся модуль каждой компоненты, а затем квадрат модуля.
Для векторов, представленных в виде столбцов или строк матричным способом, квадрат длины можно вычислить как произведение транспонированного вектора на исходный:
[ |\mathbf{v}|^2 = \mathbf{v}^\mathrm{T}\mathbf{v}. ]
Эта запись удобна при программной реализации, так как позволяет использовать стандартные линейные алгебраические библиотеки. В результате получаем точное значение квадрата нормы без извлечения квадратного корня, что часто ускоряет расчёты в задачах оптимизации и физики.