Что такое медиана в геометрии? - коротко
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Она делит треугольник на две части одинаковой площади.
Что такое медиана в геометрии? - развернуто
Медиана — это отрезок, соединяющий вершину многоугольника с серединой противоположной ему стороны. В треугольнике медиана проходит от выбранной вершины к точке, делящей прилежащую к ней сторону пополам. Эта точка называется серединой стороны. По построению медиана всегда существует и единственна для каждой вершины.
Медианы треугольника обладают рядом характерных свойств. Во‑первых, любые две медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины к середине стороны. Во‑вторых, медиана делит треугольник на две части одинаковой площади, поскольку основания получившихся треугольников равны, а высоты к этим основаниям совпадают. В‑третьих, в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, одновременно является высотой, биссектрисой и медианой, поэтому она симметрична относительно оси фигуры.
Для вычисления длины медианы, проведённой к стороне (a) в треугольнике со сторонами (a, b, c), применяется формула Аполлония: [ m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}. ] Эта связь позволяет находить медиану, зная только длины сторон, без необходимости строить её геометрически.
Особый случай возникает в прямоугольном треугольнике: медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине её длины. Это следует из того, что такая медиана является радиусом описанной окружности, в которой гипотенуза выступает как диаметр.
Медианы также используются при построении различных центров: центроид, центр тяжести, а также в методах разбиения фигур для вычисления площадей и моментов инерции. Их геометрическая простота и тесная связь с другими элементами фигуры делают медиану незаменимым инструментом в теории и практических задачах.
Кратко перечислим основные свойства медианы треугольника:
- соединяет вершину с серединой противоположной стороны;
- любые три медианы пересекаются в одной точке (центроид);
- центр тяжести делит каждую медиану в отношении 2:1;
- медиана делит треугольник на две части равной площади;
- в равнобедренном треугольнике медиана к основанию совмещается с высотой и биссектрисой;
- длина медианы вычисляется по формуле Аполлония;
- в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине.
Эти сведения полностью раскрывают смысл и значение медианы в планиметрии.