Что такое квадратное уравнение? - коротко
Квадратное уравнение — это алгебраическое равенство вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Его корни вычисляются по формуле x = (‑b ± √(b²‑4ac)) / (2a).
Что такое квадратное уравнение? - развернуто
Квадратное уравнение — алгебраическое равенство второй степени, в котором неизвестная x входит только в виде x² и x, а все остальные члены являются постоянными. Стандартная запись выглядит так:
(ax^{2}+bx+c=0),
где a, b и c — числовые коэффициенты, причём a ≠ 0 (иначе уравнение перестаёт быть квадратичным).
Основные свойства и элементы уравнения
- Коэффициент a определяет «вес» квадратичного члена; его знак влияет на направление ветвей параболы, представляющей график функции y = ax² + bx + c.
- Коэффициент b отвечает за смещение ветвей вдоль оси x; он участвует в формуле вычисления вершины параболы.
- Коэффициент c задаёт положение графика относительно оси y; при c = 0 уравнение имеет корень x = 0.
Метод решения
Главный инструмент – дискриминант D, вычисляемый по формуле
(D = b^{2} - 4ac).
-
При D > 0 уравнение имеет два различных вещественных корня:
(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}).
-
При D = 0 оба корня совпадают, получаем один двойной корень:
(x = -\frac{b}{2a}).
-
При D < 0 корней в множестве действительных чисел нет; появляются две комплексные сопряжённые величины.
Особые случаи
- Если b = 0, уравнение упрощается до (ax^{2}+c=0) и решается как (x = \pm\sqrt{-c/a}) (при условии, что (-c/a) неотрицательно).
- При c = 0 уравнение раскладывается на произведение (x(ax+b)=0), что сразу даёт корни x = 0 и x = −b/a.
- При a = 1 уравнение часто записывают в канонической форме (x^{2}+px+q=0), где p = b, q = c; это упрощает некоторые аналитические преобразования.
Применение
Квадратные уравнения встречаются в геометрии (расчёт сторон, площадей фигур, высот), физике (равенства движения при наличии ускорения), экономике (модели роста и убыли), а также в задачах оптимизации и теории чисел. Их решение служит фундаментом для построения более сложных алгебраических и аналитических методов.
Таким образом, квадратичное уравнение представляет собой базовый элемент алгебры, позволяющий находить точки пересечения парабол с осью абсцисс, определять экстремумы функций и решать широкий спектр практических задач.