Что такое число Фибоначчи? - коротко
Число Фибоначчи — это элемент последовательности, где каждый член равен сумме двух предшествующих, начиная с 0 и 1.
Что такое число Фибоначчи? - развернуто
Число Фибоначчи — это элемент последовательности, в которой каждый член получается суммой двух предыдущих. Начинается она с двух единиц (иногда с нуля и единицы), после чего каждый следующий элемент вычисляется по простому правилу: aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂. Таким образом, первые члены выглядят так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Эта последовательность возникла в средневековой итальянской математике, когда Леонардо Пизанский (Фибоначчи) изучал рост популяций кроликов. Его модель предполагала, что каждая пара кроликов после второго месяца начинает давать потомство, а потомки тоже начинают размножаться по тем же правилам. При подсчёте количества пар в каждый последующий месяц получалась именно эта числовая цепочка.
Числа Фибоначчи обладают рядом удивительных свойств. Среди них:
- Золотое сечение. Отношение соседних членов стремится к постоянному числу φ ≈ 1,6180339887…, которое называют золотым сечением. При больших n значение aₙ₊₁ / aₙ почти не меняется.
- Формула Бине. Существует замкнутая запись: aₙ = (φⁿ – (1‑φ)ⁿ) / √5. Это позволяет вычислять любой член без обращения к предыдущим.
- Связь с разложением целых чисел. Каждый натуральный номер можно представить в виде суммы различных чисел Фибоначчи, при этом никакие два из них не соседствуют (правило Зеэля). Такое представление уникально.
- Периодичность по модулям. При вычислении последовательности по модулю любого фиксированного числа появляется период, известный как период Пизано.
Применения чисел Фибоначчи встречаются в самых разных областях. В биологии они описывают расположение листьев, соцветий, спиралей раковин и шишек. В информатике они служат базой для алгоритмов быстрой сортировки, поиска в деревьях и генерации псевдослучайных чисел. В финансовом анализе их используют для построения уровней коррекции и расширения ценовых движений. Архитекторы и художники применяют их при создании гармоничных пропорций в композициях и построениях.
Таким образом, числа Фибоначчи представляют собой простую рекуррентную схему, которая порождает сложные и часто встречающиеся в природе и технике закономерности. Их изучение открывает доступ к глубоким математическим структурам и практическим методам решения задач в самых разных дисциплинах.