Что такое бином Ньютона? - коротко
Бином Ньютона — формула, позволяющая разложить степень суммы двух членов в сумму произведений биномиальных коэффициентов и соответствующих степеней этих членов. Коэффициенты вычисляются по правилу сочетаний и обозначаются как C(n, k).
Что такое бином Ньютона? - развернуто
Бином Ньютона — это формула, позволяющая разложить степень суммы двух чисел в ряд произведений, где каждый член содержит степень первого слагаемого, степень второго слагаемого и специальный коэффициент. Формально, для любых чисел (a) и (b) и целого неотрицательного показателя (n) справедливо равенство
[ (a+b)^{n}= \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}\,a^{\,n-k}\,b^{\,k}, ]
где (\binom{n}{k}) обозначает биномиальный коэффициент, вычисляемый по формуле
[ \binom{n}{k}= \frac{n!}{k!\,(n-k)!}. ]
Эти коэффициенты образуют строки треугольника Паскаля: первая строка — (1), вторая — (1\;1), третья — (1\;2\;1) и так далее. Каждый следующий уровень получается суммированием соседних элементов предыдущего уровня. Именно эта простая схема позволяет быстро находить биномиальные коэффициенты без обращения к факториалам.
Применения формулы многочисленны. Среди них:
- упрощение вычислений в алгебре, когда требуется раскрыть степень полинома;
- решение задач комбиниаторики, так как (\binom{n}{k}) отвечает за количество способов выбрать (k) элементов из (n);
- приближение функций с помощью рядов Тейлора, когда в разложении появляется бесконечный биномиальный ряд для произвольных (не только целых) показателей;
- оценка вероятностей в теории вероятностей, например, при работе с распределением Бернулли.
Для целых (n) разложение заканчивается конечным числом членов, а для произвольных действительных или комплексных показателей ряд становится бесконечным. При (|b/a|<1) такой ряд сходится, и его частичные суммы дают всё более точные приближения к ((a+b)^{\alpha}), где (\alpha) — нецелое число.
Пример для целого показателя:
[ ( x + y )^{4}= x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}. ]
Здесь коэффициенты (1,4,6,4,1) соответствуют пятой строке треугольника Паскаля.
Для произвольного показателя (\alpha) получаем бесконечный ряд:
[ (1+z)^{\alpha}=1+\alpha z+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}z^{2}+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}z^{3}+ \dots, ]
что позволяет, например, разложить (\sqrt{1+z}) при малых (z).
Итак, биномиальная формула представляет собой универсальный инструмент, соединяющий алгебраические преобразования, комбинаторные подсчёты и аналитическое приближение функций, и её простая структура делает её незаменимой в широком спектре математических задач.