Что такое бином? - коротко
Бином — это алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности двух одночленов (например, a + b). В комбинаторике под биномом понимают коэффициент, определяющий количество способов выбрать k элементов из n.
Что такое бином? - развернуто
Бином — это алгебраическое выражение, состоящее из суммы двух одночленов, каждый из которых может быть умножен на произвольную степень переменной. Примером классического бинома служит запись (a + b), где (a) и (b) – любые числа, переменные или более сложные выражения. Если один из одночленов возводится в степень, получаем более общую форму ((a + b)^n), где (n) — целое неотрицательное число.
Биномиальные формулы позволяют быстро раскрывать степень суммы двух слагаемых без многократного перемножения. Основным инструментом является биномиальная формула, известная как формула Ньютона. Она записывается так:
[ (a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}, ]
где (\binom{n}{k}) — биномиальные коэффициенты, представляющие число сочетаний из (n) элементов по (k). Эти коэффициенты образуют строки треугольника Паскаля, каждая строка которого содержит все необходимые множители для раскрытия степени бинома.
Биномиальные коэффициенты обладают рядом полезных свойств:
- (\displaystyle \binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1);
- (\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k});
- рекуррентное соотношение (\displaystyle \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}).
Эти свойства позволяют строить треугольник Паскаля построчно, начиная с единицы в вершине и суммируя соседние элементы предыдущей строки.
Помимо чисто алгебраического применения, бином встречается в теории вероятностей. Биномиальное распределение описывает число успехов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность (p) наступления успеха. Вероятность получения ровно (k) успехов при (n) испытаниях вычисляется по формуле
[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{\,k} (1-p)^{\,n-k}. ]
Здесь те же биномиальные коэффициенты отражают количество способов расположить (k) успехов среди (n) испытаний.
Биномиальные формулы и коэффициенты находят применение в комбинаторике, численных методах, криптографии и многих областях инженерии. Их универсальность обусловлена тем, что любые задачи, связанные с подсчётом сочетаний, разложением степеней суммы или оценкой вероятностных событий, сводятся к работе с биномом и его свойствами.